Matrizenkriterium

 

Das in der Folge beschriebene Verfahren besteht im wesentlichen darin, die finiten Differenzengleichungen durch Matrizen auszudrücken und dann die Eigenwerte einer assoziierten Matrix zu uöntersuchen.

Wir betrachten die Gleichung

mit $T\; =\; 0$ bei $x\; =\; 0$ und 1 sowie bekannten Anfangstemperaturen für $t$₀ = 0. Die explizite FTCS Formulierung (3.6) lautet in Matrix-Vektor Schreibweise

kurz

(3.17)

Hiermit lassen sich die Temperaturen zu einer beliebigen Zeitlinie $m$ auf die bekannten Anfangstemperaturen $$T⁰ zurückführen

Die endlichen Differenzenformeln unterscheiden nicht zwischen akuraten und rundungsfehler-behafteten Werten. Fassen wir die anfängliche Störungsverteilung in einen Vektor $$e zusammen, dann summieren sich die tatsächlichen Anfangswerte

und weiter

bzw.

Die endliche Differenzenformel ist dann stabil, wenn der Fehler $$e^m auch für $m$ beschränkt bleibt. Diese Stabilität läßt sich untersuchen, wenn man den Fehlervektor durch die Eigenvektoren von $$A ausdrückt. Angenommen die symmetrische Matrix verfügt über $N-1$ paarweise verschiedene Eigenwerte , dann sind die dazugehörigen Eigenvektoren $$v_s linear unabhängig. Der Fehlervektor $$e ergibt sich durch Linearkombinationen der Eigenvektoren von zu

(3.18)

Für den Vektor der induzierten Fehler auf einer Zeitlinie notieren wir

(3.19)

was besagt, daß die Fehler mit $m$ nicht exponentiell anwachsen, sobald kein Eigenwert dem Betrag nach größer 1 ist.

Zunächst noch eine Bemerkung über die Eigenwerte einer gewöhnlichen tridiagonalen $n\; x\; n$ Matrix

wobei $b$ und $c$ reel und von gleichem Vorzeichen sein wollen. Die Eigenwerte lauten in diesem Fall

(3.20)

Zerlegen wir die Matrix für die FTCS Formulierung aus Gleichung (3.17) in zwei Teilmatrizen

kurz . Damit erleichtert sich die Suche nach den Eigenwerten

(3.21)

Das explizite Verfahren ist stabil für

bzw.

(3.22)

Für die implizite BTCS Formulierung

kurz

oder

ergibt sich die zu (3.19) analoge Beziehung

bzw. mit

Die Eigenwerte von lauten

(3.23)

Sie sind in jedem Falle betragsmäßig kleiner eins, weshalb das implizite Verfahren generell stabil ist.