Parameter-Spline-Interpolation

  Die Kurve in einer Ebene kann mit der im vorigen Abschnitt beschriebenen Methode interpoliert werden, wenn wir die Funktion $f$ durch $y$ und die unabhängige Variable $$ durch $x$ ersetzen. Diese Methode setzt leider den monotonen Anstieg von x voraus und kann z.B. eine geschlossene Kurve nicht interpolieren. Eine allgemeinere Methode, mit der man auch die Kurve im 3D-Raum interpolieren kann, ist die sogenannte ''Parameter-Spline-Interpolation''.

Hier werden die Komponenten der Kurvenkoordinaten einzeln mit Splinefunktionen interpoliert. Der gewonnene Kurvenverlauf ist somit zweimal stetig nach dem Kurvenparameter $$ differenzierbar, was eine gute Glattheit verspricht.

Von der zu interpolierenden Kurve $x\; ($) seien die Ortsvektoren $x$_i an den n Stützstellen $$_i ( i = 1,..,n ) gegeben. Dann gilt:

(6.73)

Die Komponenten der Koeffizienten $c$_i , b _i , d _i werden nach den Formeln (6.65) bis (6.67) berechnet, indem man jeweils die Komponenten $x$_i , y_i , z_i der Stützpunkte $x$_i als Stützwerte $f$_i der Funktion einsetzt.

Als Kurvenparameter $$_i kann entweder der Laufindex,

(6.74)

die resultierende Sekantenlänge

(6.75)

oder eine beliebige monoton steigende Funtion verwendet werden.

Für eine geschlossene Kurve wird der Punkt $x$₁ zusätzlich als $x$_n+1 = x (_n+1 ) definiert.

Anstelle der Schließungsgleichung an den Rändern verlangen wir wiederum die zweimal stetige Differenzierbarkeit auch an dem Punkt

Statt der Gleichungen (6.65)-(6.67) gilt dann:

$c$_i :

(6.76)

$b$_i :

	(6.77)

$d$_i :

(6.78)

Die Kurve wird dann aus den folgenden Segmenten zusammengesetzt:

(6.79)

Man kann hier auch die alternative Methode (vgl. vorherigen Abschnitt) einsetzen. Es wird dann die Ableitung des Ortsvektors $x\; \text{'}$_i nach dem Kurvenparameter $$ gesucht. $x\; \text{'}$ zeigt in die gleiche Richtung wie die Tangente der interpolierten Kurve.

Analog zur Gleichung (6.71) bestimmt man $x\; \text{'}$_i aus dem folgenden Gleichungssystem:

(6.80)

mit der Schließungsbeziehung:

oder

oder für eine geschlossene Kurve:

(6.81)

Es ist zu beachten, daß hier 3 Gleichungssysteme zu lösen sind.

Der Kurvenverlauf der einzelnen Intervalle ergibt sich aus:

(6.82)

mit $i\; =\; 1,\; ..\; ,\; n\; -\; 1$ für die offene und $i\; =\; 1,\; ..\; ,\; n$ für die geschlossene Kurve.