Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren

Im Gegensatz zur Jacobischen Methode werden beim Punkt-Gauß-Seidel-Verfahren (PGS) während der Abarbeitung einer Iterationsstufe alle neu ermittelten Elemente ($k+1$) des Unbekanntenvektors benutzt, um die weiteren Elemente zu bestimmen:

(5.19)

Diese Vorgehensweise wird auch als Einzelschrittverfahren bezeichnet. Aufgrund der Verwendung von neuen Werten konvergiert das PGS-Verfahren schneller als das Jacobische Verfahren. Da zudem nur ein Unbekanntenvektor gespeichert werden muß, der dann sukzessive aktualisiert wird, ist auch der Speicherplatzbedarf geringer.

Betrachten wir wiederum die Auflösung von (5.8): Angenommen, der $(k\; +\; 1)$-te Iterationszyklus habe bereits die ersten $(j-1)$ Reihen abgearbeitet und befinde sich nun in der $j$-ten Reihe, um den Wert der Unbekannten $u$_i,j^(k+1) zu bestimmen. Das Lösungsverfahren kann nun auf die im aktuellen Zyklus bereits errechneten rückwärtigen Werte $u$_i,j-1^(k+1) sowie $u$_i-1,j^(k+1) zürückgreifen, und lautet somit

(5.20)

Abbildung 41: Gitterpunkte der Gleichung (5.20)