Anwendung auf Navier-Stokes Gleichung

• Wir betrachten ein Fluid zwischen zwei Platten. Die Platten erstrecken sich unendlich weit, so daß keine Endeffekte wirksam werden. Bilanzgleichung und Randbedingungen:
  • NS-Gleichungen:
  • Anfangsbedingung:

    t   =   0,     u    =   U₀     für   y   =   0
    
    u   =   0     für   0   <   y   <   h

  • Randbedingungen:

    t   >   0,     u   =   U₀     für   y   =   0
    
    u    =    0     für   y   =   h

• Geometrie und Gitter

  $h=0.07m\;$y=0.001     IM=41

  Dabei ist $NM$ die Anzahl der Zeitschritte und $d$ die Diffusionszahl und damit das Maß, ob das Stabilitätskriterium $d=$v t/y² < 0.5 erfüllt wird.
• Es werden folgende Parameter untersucht:
  • explizit FTCS

    (I) $NM=541$ $d=0.434$

    (II) $NM=541$ $d=0.503$

  • explizit DF

    (I) $NM=541$ $d=0.434$

    (II) $NM=361$ $d=0.651$

  • implizit BTCS

    (I) $NM=541$

    (II) $NM=109$

  • implizit CN

    (I) $NM=541$

    (II) $NM=109$

• Für FTCS, Fall I ist das Stabilitätskriterium erfüllt: $d=$v t/y² < 1/2 (Abbildung 35 links).

  Abbildung 35: Rechnung mit FTCS Schema und erfülltem (links) bzw. nichterfülltem (rechts) Stabilitätskriterium

  

• Für FTCS, Fall II überschreitet die Diffusionszahl das Stabilitätskriterium. Es führt zu einer instabilen oszillierenden Lösung (dynamische Instabilität, Abbildung 35 rechts).

  Abbildung 36: Rechnung mit BTCS Schema

  

• DuFort-Frankel ermöglicht größere Zeitschritte, da es unbedingt stabil ist. Es ist jedoch Vorsicht geboten, da größere Zeitschrittweiten den Fehler erhöhen. Benötigt werden jeweils zwei rückwärtige Zeitschrittebenen.
• Die impliziten Methoden BTCS und CN sind unbegrenzt stabil und erlauben größere Zeitschrittweiten. Es müssen jedoch Gleichungssysteme gelöst werden. Dem Zeitgewinn durch größere Zeitschrittweiten steht jedoch der höhere numerische Aufwand gegenüber, der für die Lösung des Gleichungssystems erforderlich ist.

Abbildung 37: links: Ergebnis nach $t=0.18$; rechts: Ergebnis nach $t=1.08$